تحلیل غیرخطی سازه به روش نیومارک بتا با نرم افزار MATLAB

تحلیل غیرخطی سازه به روش نیومارک بتا با MATLAB

این پروژه با هدف تحلیل دینامیک غیرخطی یک سازه تک درجه آزادی (SDOF) با استفاده از روش نیومارک بتا پیاده‌سازی شده است. روش نیومارک بتا (Newmark-Beta) یکی از روش‌های عددی پرکاربرد در تحلیل دینامیک سازه‌ها است که پایداری و دقت بالایی دارد. در ادامه توضیحاتی از معرفی پروژه و جزئیات آن ارائه شده و تصاویر خروجی پروژه در محیط متلب قرار داده شده است.

روش نیومارک بتا (Newmark-Beta)

روش نیومارک بتا (Newmark-Beta) یکی از روش‌های عددی پرکاربرد در تحلیل دینامیکی سازه ها است که برای حل معادلات دیفرانسیل حرکت در سیستم‌های سازه‌ای تحت بارهای متغیر با زمان به کار می‌رود. این روش برای تحلیل پاسخ زمانی سازه‌ها در برابر نیروهای دینامیکی نظیر زلزله، باد و ضربه استفاده می‌شود. اساس روش نیومارک-بتا بر تقریب عددی مشتقات زمانی استوار است که امکان محاسبه تغییر مکان، سرعت و شتاب را در هر گام زمانی فراهم می‌کند. این روش به دلیل پایداری بالا و قابلیت کنترل دقت محاسبات، به طور گسترده در مهندسی عمران و مکانیک به کار گرفته می‌شود.

روش نیومارک-بتا بر اساس دو پارامتر کنترلی β و γ تعریف می‌شود که نقش مهمی در دقت و پایداری حل عددی دارند. انتخاب مناسب این پارامترها تعیین می‌کند که روش به صورت شرطی پایدار یا کاملاً پایدار باشد. به عنوان مثال، مقدار¼ = β  و ½ = γ منجر به روش نیومارک ضمنی می‌شود که برای حل مسائل دینامیکی غیرخطی و تحلیل گذرای سازه‌ها مناسب است. در صورتی که مقادیر متفاوتی انتخاب شوند، می‌توان روش‌های مختلفی مانند روش نیومارک صریح یا شبه استاتیکی را به دست آورد که کاربردهای خاص خود را دارند.

یکی از مهم‌ترین مزایای روش نیومارک بتا، انعطاف‌پذیری آن در تحلیل سیستم‌های سازه‌ای پیچیده است. این روش قابلیت اعمال به سیستم‌های خطی و غیرخطی را دارد و به طور گسترده در نرم‌افزارهای تحلیل سازه مانند SAP2000، ANSYS و Abaqus مورد استفاده قرار می‌گیرد. همچنین، این روش به دلیل قابلیت تنظیم پارامترهای عددی، امکان کنترل میزان میرایی عددی را فراهم می‌کند که برای جلوگیری از نوسانات نامطلوب در تحلیل‌های دینامیکی اهمیت دارد. به همین دلیل، مهندسان از این روش برای تحلیل پاسخ سازه‌ها در برابر زلزله و بارهای متغیر زمانی بهره می‌برند.

در نهایت، روش نیومارک-بتا یکی از ابزارهای کلیدی در تحلیل دینامیک سازه‌ها محسوب می‌شود که دقت و پایداری بالایی را در محاسبات عددی ارائه می‌دهد. این روش در کنار سایر روش‌های عددی مانند روش‌های انتگرال‌گیری مستقیم و روش‌های طیفی، به مهندسان این امکان را می‌دهد که رفتار دینامیکی سازه‌ها را با دقت بالایی مدل‌سازی و تحلیل کنند. با پیشرفت نرم‌افزارهای مهندسی، استفاده از این روش بهینه‌تر شده و امکان تحلیل سازه‌های پیچیده‌تر در زمان کوتاه‌تری فراهم گردیده است.

معرفی پروژه

در این پروژه هدف ما تحلیل دینامیک غیرخطی یک سازه تک درجه آزادی (SDOF) می باشد که طبق مشخصات و جزئیات زیر با نرم افزار MATLAB پیاده سازی شده است.

جزئیات پارامترها

• جرم سازه (m): مقدار جرم سازه که در این پروژه برابر با 1000 کیلوگرم فرض شده است. جرم به‌صورت مستقیم بر انرژی جنبشی سازه و پاسخ دینامیکی تأثیر می‌گذارد.
• سختی اولیه (k0): مقدار اولیه سختی سازه که برابر با 5000 نیوتن بر متر فرض شده است. سختی اولیه بیانگر مقاومت سازه در برابر تغییر شکل است و با افزایش جابجایی، سختی غیرخطی محاسبه می‌شود.
• ضریب میرایی (c): مقدار میرایی سیستم برابر با 100 نیوتن-ثانیه بر متر در نظر گرفته شده است. میرایی باعث کاهش نوسانات و انتقال انرژی سازه به محیط می‌شود.
• نیروی خارجی (F): در این تحلیل، یک نیروی سینوسی به سازه اعمال شده است که دامنه آن برابر 100 نیوتن و فرکانس آن بر اساس زمان تعیین شده است. این نیرو برای شبیه‌سازی بار دینامیکی استفاده شده است.
• پارامترهای نیومارک (β و γ): این پارامترها برای کنترل پایداری و دقت روش انتخاب شده‌اند:
• β = 0.25: تضمین پایداری بدون شرط در تحلیل دینامیکی.
• γ = 0.5: باعث تعادل انرژی در سیستم می‌شود.

مراحل تحلیل

1. تعریف و مقداردهی پارامترها:

• مقدار اولیه تمامی متغیرها (جابجایی، سرعت، شتاب) صفر در نظر گرفته شده است.
• بردار زمان با گام‌های زمانی 0.01 ثانیه تعریف شده است.

2. تعریف سختی غیرخطی:

• سختی غیرخطی به صورت تابعی از جابجایی محاسبه شده است. این سختی به عنوان مشخصه سازه‌های غیرخطی معرفی می‌شود.

3. محاسبات در حلقه زمانی:

• در هر گام زمانی، نیروی مؤثر محاسبه شده و جابجایی، سرعت، و شتاب سازه به‌روزرسانی شده است.

انرژی‌های سیستم شامل:

• انرژی جنبشی: وابسته به سرعت و جرم.
• انرژی پتانسیل: وابسته به جابجایی و سختی.
• انرژی میرایی: نشان‌دهنده انرژی اتلافی از طریق میرایی.

4. رسم نمودارها:

• نمودارهای جابجایی، سرعت و شتاب بر حسب زمان برای مشاهده پاسخ دینامیکی سازه.
• نمودار انرژی‌های جنبشی، پتانسیل و میرایی برای تحلیل رفتار انرژی سازه.

تحلیل نتایج

شکل گرافیکی و شماتیک از سازه فرضی مورد نظر که با اجرای فایل SDOF.m در محیط متلب تولید می شود:

بلوک جرم (Mass – m)

• شکل: این قسمت به صورت یک مستطیل آبی رنگ رسم شده است.
• موقعیت: بلوک جرم در بالای سیستم (بین دمپر و فنر) قرار دارد.
• عملکرد: نشان‌دهنده جرم سازه است که نقش اساسی در رفتار دینامیکی سیستم دارد.
• جرم m به تغییرات جابجایی، سرعت، و شتاب سیستم وابسته است.
• در روش نیومارک بتا، این جرم به معادلات حرکت وارد شده و نیروی اینرسی u . m را ایجاد می‌کند.

فنر غیرخطی (Nonlinear Spring – k)

• شکل: به صورت یک موج سینوسی نمایش داده شده است که خاصیت غیرخطی فنر را نشان می‌دهد.
• موقعیت: سمت چپ جرم قرار دارد و به زمین متصل شده است.
• عملکرد: نیروی بازگشتی فنر با سختی m متناسب است.
• در این سیستم، سختی k به صورت غیرخطی مدل‌سازی شده است، به‌طوری که با افزایش جابجایی (مقدار u) مقدار k نیز افزایش می‌یابد.
• رابطه نیروی فنر به شکل تعریف می‌شود.

دمپر (Damper – c)

• شکل: به صورت یک میله عمودی و یک مستطیل خاکستری نمایش داده شده است.
• موقعیت: سمت راست جرم قرار گرفته و از طرف دیگر به زمین متصل شده است.
• عملکرد: نقش میرایی سیستم را ایفا می‌کند.
• دمپر باعث کاهش نوسانات سیستم می‌شود و انرژی جنبشی را به گرما یا انرژی تلف‌شده تبدیل می‌کند.
• نیروی دمپر با سرعت نسبی جرم متناسب است و به صورت تعریف می‌شود.

زمین (Base – Ground)

• شکل: به صورت یک خط افقی در پایین سیستم، با هاشورهایی برای نشان دادن سطح ثابت رسم شده است.
• عملکرد: نشان‌دهنده پایه ثابت سیستم است که به جرم، فنر، و دمپر متصل شده است.
• این قسمت نیروی عکس‌العملی را در برابر نیروی فنر و دمپر تأمین می‌کند.

نیروی خارجی (External Force – F(t))

• شکل: به صورت یک فلش قرمز رنگ در سمت راست جرم نمایش داده شده است.
• عملکرد: نیروی خارجی F(t) یک نیروی متغیر زمانی است که می‌تواند به صورت سینوسی یا هر نوع دیگر تعریف شود.
• این نیرو سیستم را تحریک کرده و باعث ایجاد جابجایی، سرعت و شتاب در جرم می‌شود.
• رابطه نیروی کل به صورت محاسبه می‌شود.

برچسب‌ها و توضیحات اضافی

جابجایی (Displacement – u(t)):

برچسبی در بالای جرم که جابجایی u(t) را نشان می‌دهد.

این جابجایی متغیر اصلی در تحلیل دینامیکی است که با استفاده از روش نیومارک بتا محاسبه می‌شود.

برچسب نیروی خارجی:

فلش نیروی خارجی با برچسب F (t) نشان داده شده تا مشخص باشد این نیروی متغیر زمانی سیستم را تحریک می‌کند.

ارتباط اجزاء نشان داده شده با تحلیل نیومارک بتا

این شکل شماتیک تمام اجزای مورد نیاز برای تحلیل دینامیکی سیستم را نمایش می‌دهد:

• معادلات حرکت با استفاده از جرم، فنر، دمپر، و نیروی خارجی ساخته می‌شوند.
• نیروی فنر غیرخطی و نیروی دمپر به‌طور مستقیم در محاسبات دخالت دارند.
• نیروی خارجی، عامل تحریک سیستم است که منجر به نوسانات و پاسخ دینامیکی می‌شود.
• روش نیومارک بتا به صورت عددی جابجایی، سرعت، و شتاب را برای این سیستم غیرخطی محاسبه می‌کند.

شکل جابجایی ، سرعت و شتاب که با اجرای فایل Newmark.m در محیط متلب تولید می شود:

• نمودار جابجایی (Displacement) نشان‌دهنده پاسخ غیرخطی سازه به نیروی سینوسی است. با افزایش زمان و تغییر سختی، تغییرات جابجایی قابل مشاهده است.
• نمودار سرعت (Velocity) و نمودار شتاب (Acceleration) سیستم با جابجایی ارتباط مستقیم دارند. نوسانات سرعت و شتاب با توجه به شرایط میرایی سیستم کاهش یافته‌اند.

شکل آنالیز انرژی ها که با اجرای فایل Newmark.m در محیط متلب تولید می شود:

• انرژی جنبشی (kinetic) بیشترین مقدار را در نزدیکی پیک‌های سرعت دارد.
• انرژی پتانسیل (potential) به شدت جابجایی وابسته است و افزایش سختی غیرخطی باعث تغییر رفتار آن می‌شود.
• انرژی میرایی (damping) به‌صورت تجمعی محاسبه شده و نشان‌دهنده اتلاف انرژی در سیستم است.

نتیجه گیری:

تحلیل غیرخطی سازه به روش نیومارک بتا نشان می‌دهد که این روش توانایی بالایی در بررسی رفتارهای پیچیده دینامیکی دارد. با تغییر پارامترهای مختلف، می‌توان تأثیر هرکدام را بر پاسخ سیستم به‌صورت دقیق مشاهده کرد. این پروژه برای مدل‌سازی رفتار واقعی سازه‌ها تحت بارهای دینامیکی مختلف کاربردی است.